Friday 22 August 2014

科學光環與科學現實

Albert Einstein in 1921 (Source)


當年讀完廣義相對論(General Relativity)發現竟然沒有一個預測是可以嚴謹地從 Einstein field equations 中直接導出,頓時變得好失望。水星的近日點(perihelion)預測就是其中一個例子,除了需要用一個非常脫離現實的 Schwarzchild solution 去 approximate 之餘,竟然還要用 Newtonian mechanics,ad hoc 的程度非常嚴重[1],理論物理學從此就失去了在我小時候從《時間簡史》
中獲得的完美光環。這倒也不是理論物理的錯,只是我希望越大失望越大而已。不過,這一點就是我經常想跟外人解釋的一件事︰不要依賴科普知識去評價科學的成就,有時所謂預測準確至幾多個 significant figures,可能是 ad hoc approximation 的結果[2],而不是理論原型一出來就這麼準確。和 classical physics 不同,modern physics 中理論與證據之間的邏輯關係,比很多人想像的要稀薄。所以,雖然科學仍是我們最好的知識獲得途徑,但不要把她想得太理想,要真的把握當中的細節和計算才能下一個恰當的評估。

我引一段 
Paul Feyerabend 的講法︰


Ad hoc approximations abound in modern mathematical physics. They play a very important part in the quantum theory of fields and they are an essential ingredient of the correspondence principle [...] ad hoc approximations conceal, and even eliminate, qualitative difficulties. They create a false impression of the excellence of our science. It follows that a philosopher who wants to study the adequacy of science as a picture of the world, or who wants to build up a realistic scientific methodology, must look at modern science with special care. [3]

Feyerabend 的 proposal 很激進[4],放在神棍特別多的廿一世紀並不合時宜,但他的分析確實有很多有見地的地方︰



Modern science has developed mathematical structures which exceed anything that has existed so far in coherence, generality and empirical success. But in order to achieve this miracle all the existing troubles had to be pushed into the relation between theory and fact, and had to be concealed, by ad hoc hypotheses, ad hoc approximations and other procedures.

Feyerabend 舉的例子是 von Neumann 的公理化量子力學,指出公理化量子力學雖然比之前的版本在邏輯上較嚴謹,但代價卻是在計算實際問題時需要動用更多 ad hoc procedure ,例如要任意地修改一些物理定律,以求得到想要的計算結果,甚至需要承認它無法解決一些非常普通的問題如 scattering problem 。


這一個批判也動搖了所謂「數學是宇宙的語言」的流行講法,現實似乎是我們強行迫令具體執行遷就我們的抽象框架,把邏輯上不太說得通的東西都收藏在細節上,使得世界好像完美地跟數學模型重疊。(有一段時間我都非常驚訝,為什麼 Hilbert Space 這種完全獨立地發明出來的數學框架,能完美地套用到量子力學上呢?)如果我們仔細地觀察,就能看出數學與數學應用之間的關係並不直接,然後所謂 "the unreasonable effectiveness of mathematics" 的迷思,也就沒有那麼神秘了。




後記︰

這篇文章其實不是想叫讀者不要看科普書,而是想講透過科普書我們很容易會獲得一種 idealised picture ,從而可能會產生一種過份美化的科學觀。科普書還是很值得讀的,只是要比較小心。(另外,科普書中的科學史也很有誤導性,因為很多時身為科學家的作者都沒有受過史學訓練,寫出來的科學史通常都是一種 Whig history ,這我也是要透過讀科學哲學才能認識到的錯誤)


我受純數的訓練較多,這也可能令我對物理學的 rigor 有較高(審美)要求的原因,我的一些純物理的同學對 ad hoc assumption 就沒有那麼敏感。(習慣哲學思維可能也有關)


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[1]這一點要 elaborate 一下,我直接用英文比較容易︰The so-called Schwarzchild solution of Einstein's equation is based on a simplified model in which the universe is centrally symmetrical, containing a singularity at the middle and nothing else. This is far from the case with our solar system. If we say the empirical evidences must correspond to the picture as described by GR for GR to be scientifically verified, problems arise as there is never a direct correspondence between the theory of GR and the evidences for it. Their relation is always mediated by various simplification, axillary assumption and ad hoc modification. (One can even say, these procedures constitute a cluster of secondary, ad hoc theories designed specifically for specific evidence to correspond to.) There is no such thing as an universal procedure which brings one from theory to facts or the other way round. Whether the theory per se entails the observable result, or the theory is forced to give the desired result, it is hard to say. Furthermore, Newtonian mechanics is supposed to be "reduced" from GR, but the fact is it is often necessary to presuppose Newtonian mechanics for many actual calculations to be carried out. The idea of increasing generality is thus (once again) shaken.

另外 Feyerabend 自己的解釋也可以貼出來以供參考︰ "[In the case of approximating the perihelion of Mercury,] making the required approximations would mean calculating the full n-body problem relativistically (including long-term resonances between different planetary orbits), omitting magnitudes smaller than the precision of observation reached, and showing that the theory thus curtailed coincides with classical celestial mechanics as corrected by Schwarzschild. This procedure has not been used by anyone simply because the relativistic n-body problem has as yet withstood solution. When the argument started, there were not even approximate solutions for important problems such as, for example, the problem of stability (one of the first great stumbling blocks for Newton's theory). The classical part of the explanations, therefore, did not occur just for convenience, it was absolutely necessary. And the approximations made were not a result of relativistic calculations, they were introduced in order to make relativity fit the case. One may properly call them ad hoc approximations."

當然,這是用一個 rationalism 的標準去看物理學的結果,而其實 Feyerabend 也不是要指責物理學家的邏輯令人失望,而是要說明 rationalist 理想中的 argumentation 並不是放諸四海皆有效的。


[2]關於 ad hoc hypothesis 可看 Wiki


[3]Feyerabend, Against Method, part 5

[4]我的看法是他的分析跟他的 proposal(revival of ancient myths, etc)可以分開考慮,理論上我是認同 methodological pluralism 的,但我認為他對研究資金這回事看得太樂觀,如果隨便什麼新舊理論都可以拿到資金研究,那大學早就破產了。而且科學測量的精確度要得以改進,也需要有 Kuhn 所講的常態科學(normal science)那個階段,這可以當作是權宜之道,但不能簡單視為「霸權」的。

1 comment:

  1. 我完全沒學過什麼物理,連普通物理也修得非常爛。

    但是我覺得數學起到一個盡量自洽的目的,還有否證上的方便性。

    例如我們如果對某種粒子有一種看法,然後要定量、定性提出預測,符合實驗。
    自然的語言也許夠用,但是寫成數學有什麼好處呢?
    可以用電腦跑模擬(細節我完全不懂) (預測能力、定量、檢驗是否符合實驗,這3點數學都是極度具有優勢)

    假如這方程式今天看來一切合理,但是某一天別人突然要結合一個更普遍的想法,例如一個東西隨時間變化是不變,結果你這方程式一微分就不見了,那顯然有些地方出了大問題,這種時候自然語言顯然不太可能具有這種糾錯能力。
    (變成自然語言就是因為我說他具有,他媽的就具有隨時間不變。 而不是像數學模型那樣很自然地可以推出來。)
    或者是明明同樣尺度都是動量守恆,你算一算結果不是? 等等等....
    或者是簡單的對易性質或不具備,你可以用自然語言講一大套(模糊的),然後新的科學證據出來之後你在把非對易的性質,指指點點的說,喔這很自然當然從圖像上看這些事物當然是不對易啊。
    但是如果海森堡如果寫出一個矩陣,本身具有這種性質,就算他們自己不知道(事實上他們是知道的),那後來新的科學事實出來之後,一個數學架構通常不是錯就是對,錯的就認錯修改,很少有繼續唬爛的空間,除非這種個數學架構太複雜可以包羅萬象,但是不會有人說矩陣力學太複雜所以這個對那個也對吧? 當然我這裡講的都已經是很古典的物理了,現代物理我根本一無所知 。

    例如很多人說數學阻礙天文學發展,因為很多人都覺得軌道要是圓形的,但是數學沒有偏見啊,你預測是圓形,那觀測不符合,你就必須承認你的方程式是錯的或者是觀察有問題。

    如果一個大家覺得很自然的數學假設出問題了,那必定他是在日常生活很自然,沒有道理要微觀世界也是這樣,所以如果理論用數學當工具,好處就是由小可以推廣至大,你公理是什麼? 你的規則是什麼? 丟進電腦一跑,跑出來變成胡扯,那你必定在胡扯啊。

    "聽說" 大部分數學論文,除去用電腦搞邏輯那套,大部分論文根本不是用最底層的邏輯在論述的,只是數學家是更嚴謹的指指點點而已,就像數學家的聖杯就是證明和提出猜想,拜託那些猜想有幾億個實例"證實"啊,對物理學家來講這早就變成定理了,但是數學家依然把它當作猜想。
    這種嚴謹對多數正常的大腦來說,已經足夠嚴謹了吧,在現實生活裏面很難想到有比數學好的工具,但是沒有人說人是靠著數學思考的,我是說如果你要一個看法,寫成數學形式通常是可以讓人糾錯的,你模糊不清的扯淡,那就是逃避別人的檢驗而已。

    如果沒有物理學家跟數學家的數學工具,霍金的想法我認為也許跟一個極度高明的科幻作家相去不遠,科學家很有想像力,但是足夠的數學能力也是必須的。

    BTW 你說公理化量子力學要任意地修改一些物理定律,我不太相信。
    還有物理學家喜歡的搞法應該是
    他在1、2、3個電子或什麼鬼的時候是正確的理論,放大之後,幾億個原子那就用統計用近似來預測,所以近似是很合理的啊。
    簡單的規則經過合理的近似有他的預測能力,這是很合理的,就好像古典的重力理論,搞個3體問題都會變成極度複雜,我看不出來為什麼近似要被指責,近似是一種應用數學上的藝術吧。

    我們想要的物理討論是哲學故事或者是啟發式的,但是這樣的語言不可避免的會有模糊,而且這也不是嚴謹的科學工作可以大量容忍的,所以物理教科書、論文幾乎必然很少會有這樣的寫法。
    凡是扯到類比,作者經常就說老子就是在"類比" 這整張就是一種人為的"模型" (例如化學) 錯誤幾乎是必然的,預測能力隨著體系越大越來越弱,越來越複雜,這是必然的,所以科學家務實的用模型來教學。

    老實講已經搞到這種地步了,我這種沒學過普物以外的人,很難想像還有什麼更好的寫法? 如果von Neumann 不這樣寫那還能怎麼寫?
    又是老話了,數學是有意義的有機,他可以推廣與更複雜的數學結構連接起來,但是自然語言做這種連接靠的是"想當然爾、老子說對就對、實驗說的啊,不要問我為什麼"
    數學問題是引入太多符號,忽略太多實驗與把直觀隱藏了,而不是不科學的問題。
    但是那種天才寫的書會給人一種感覺,我給出一個數學式,然後我也不跟你講為什麼老子或者發明/發現 的人想的到,然後就是很自然地推推推,中間又出現很多詭異的數學技巧
    (普通人的腦袋與現有的教材要搞清楚這些數學技巧根本是浪費生命,整個文明不用進步了。)
    ,然後解釋一堆現象(可以解釋但是他們不解是給你看),看起來這完全是霸權。
    但事實上不是霸權,而是刻意的嚴謹,只要你找到一個實際意義上的反例,歡迎你隨時把整本書燒掉,或者是整本書都變成你的理論的近似。

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